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等腰三角形与圆锥曲线的综合试题

作者:深圳高中数学家教杨水兵 | 字体大小】【】【】 | 浏览次数:2156

在圆锥曲线与直线综合的试题中,平面几何的部分性质往往是我们寻找所求未知数的关键,本题中,初中所学的“等腰三角形的性质”就是下面这道数学试题的关键,希望对我们高三学生能有所帮助!

试题内容:已知椭圆的对称中心为坐标原点,其中一个顶点为A(0,2),右焦点F(c,0)与点B(√2,√2)的距离为2。求该椭圆的方程 为 x2/12+y2/4=1 (亲爱的高三同学,这个标准方程是如何求来,你可以试一试,如果你有时间的话)。 问:是否存在经过点(0,-3)的直线l,使直线l与椭圆相交于不同的两点M、N,满足|AM|=|AN|?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由。

第一部分、试题分析:本题从属于直线与椭圆的位置关系的类型,本着“数形结合”的思想,我们不难画出其相应的草图。从整体上看,本题的关键和实质就是看能不能求出直线中的斜率——k的值。1、由于直线的具体位置无法事先确定,所以我们可以初步在草图上分别按“垂直于x轴”、“平行于x轴”和“既不垂直又不平行于x轴”三种情况进行定量分析,在初步作出判断后,我们很容易得出前两种情况都不可以;2、在直线的第三种情况——既不垂直又不平行于x轴中,由于题中直线l过定点C(0,-3),所以直线的方程适合采用“点斜式”进行;3、本题的关键是:题中已知条件“|AM|=|AN|”如何用?一种用法是紧紧扣住这个条件用两点间的距离公式进行求解,一种用法是透过已知条件“|AM|=|AN|”可以知道——△AMN实质就是一个以MN为底边的等腰三角形,再进一步观察,如果把等腰三角形的性质——三线合一作出底边上的高,可以知道,垂足同时也是线段MN的中点。

第二部分、数学知识点分析:1、数学思想方面:①数形结合的思想,②分情况讨论的思想,③设元思想,④消元思想;2、从数学知识点方面:①两点间的距离公式,②直线的点斜式,③韦达定理,④等腰三角形三线合一的知识,

第三部分、试题说明:本题计算量大,需要学生具有较强的细心和耐心,数学知识点跨度大,综合能力要求较高,难度系数为0.5~0.6之间,属于中等偏上的学生提练。

第四部分、试题解答:由题意和草图分析可得,当直线l垂直或平行于x轴都是不符合要求的,设直线l的方程为:y=kx-3(k≠0),M、N的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),草图如下图所示:

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