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在半圆中,两个内截矩形中如何证明OB与OF相互垂直?

作者:深圳家教网|深圳初三数学家教中考数学问答工作室 | 字体大小】【】【】 | 浏览次数:1432

方程思想与几何知识点结合,向来是中考的一个热点,这类试题所涉及的题目,其难度一般不小,本题《在半圆中,两个内截矩形中如何证明OB与OF相互垂直?》所解答的题目就是这样一道经典试题。本题源于深圳中考数学试卷,现将其解答过程分享如下:

中考数学试题内容:在半圆O中,两个小正方形ABCD和DEFG相邻内截半圆O,A、D、O、G分别在半圆的直径上,B、F在半圆圆周上(如下左图所示)。请证明:OB⊥OF。

题目分析:由于图中两个正方形的位置没有被固定,要想证明OB⊥OF,一般思维,只要能证明∠BOF=90°,问题就得到了圆满解决,但反观题目和图形,没有一点有关“角”的信息,从“角度”确实无从下手,这道题无疑变成了“死题”!

那么,从角无望,能不能从“边”入手呢?细致观察,在证明结论涉及的边“BO”和“FO”中,两条边都是圆的半径,其长度都是R,且BO和FO所在的两个三角形△BAO和△OFG都是直角三角形,能不能充分利用它们的“直角三角形”的特殊性找到题目的突破口呢?

我们不妨来试一试,但问题立马又出来了,直角边AB、AO、OG、GF的具体长度也未知啊!

能不能设而不求呢?我们可以试着设:AB=a,AO=x,OG=y,GF=b,很容易得到:①a2+x2=R2

②y2+b2=R2 ……

深圳家教网|深圳初三数学家教问题解答工作室解答:如下图所示:设:AB=a,AO=x,OG=y,GF=b,

∵四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形

∴∠BAD=∠GOF-90° 且x+y=AD+OG=a+b,且a+b=x+y

∴ △BAO和△OGF都是RT△

∵△BAO和△OGF都是RT△

∴a2+x2=R2y2+b2=R2

即a2+x2=y2+b2

∵a2+x2=y2+b2

∴a2-b2=y2-x2 即(a+b)(a-b)=(y+x)(y-x) (这个地方很需要技巧,简直太美妙了!)

∵ (a+b)(a-b)=(y+x)(y-x)且x+y=a+b

∴ a-b=y-x

∵a+b=x+且a-b=y-x

a=y且b=x

∵在△BAO和△△OGF中,a=y,b=x且BO=OF

∴△BAO≌△△OGF

∠3=∠2,∠1=∠4

∠3=∠2,∠1=∠4且∠3+∠1=90°

∴∠1+∠2=90°

BO⊥OF

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本题的解答由深圳数学家教深圳初二数学家教问题解答工作室提供!

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