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如何证明一个三角形的角平分线分它的对边之比等于另外两边的比

作者:深圳初中数学家教欧老师 | 字体大小】【】【】 | 浏览次数:3299

如何证明一个三角形的角平分线分它的对边之比等于另外两边的比?

如下图所示:在△ABC中,已知AD是∠A的角平分线,证明:BD:DC=AB:AC

深比圳初中数学家教欧老师解答一:如下图所示:过点C作CE∥AB,交AD的延长线为点E(如下图红色部分所示)

∵AD是∠BAC的角平分线 ∴∠1=∠2

∵AB∥CE ∴∠1=∠3

∵∠1=∠2且 ∠1=∠3 ∴ ∠2=∠3

∵在△ACE中∠2=∠3 ∴AC=EC

∵AB∥CE ∴ △ABD∽△ECD

∵△ABD∽△ECD ∴BD:DC=AB:AC

深比圳初中数学家教欧老师解答二:如下图所示:在△ABC中,已知AD是∠A的角平分线,证明:BD:DC=AB:AC

延长BA与点E,使AE=AC,连接EC(如图中红色部分所示)

∵AE=AC ∴∠3=∠4 (等边对等角)

∵∠BAC是△AEC的一个外角 ∠BAC=∠3+∠4

∵∠BAC=∠2+∠1 ∴∠2+∠1=∠3+∠4

AD是∠BAC的角平分线 ∴∠2=∠1

∵∠2=∠1且∠3=∠4 ∴2∠1=2∠3 即 ∠1=∠3

∠1=∠3 ∴ AD∥EC

∵ AD∥EC ∴△BAD∽△BEC 后面同学就可以自己完成了!

深比圳初中数学家教欧老师解答三:如下图所示:过点D分别作DE⊥AB于点E。DF⊥AC于点F,作AG⊥BC于点G(如下图红色部分所示)

∵AD是∠BAC的角平分线且DE⊥AB,DF⊥AC

∴DE=DF (角平分线的点到角的两边的距离相等)

∵△的面积等于底×高÷2且DE、DF、AG分别是AB、AC、BC边上的高

∴S△ABD=AB●DE/2=BD●AG/2;S△ACD=AC●DF/2=DC●AG/2

即AB●DE=BD●AG;AC●DF=DC●AG

∵S△ABD=AB●DE/2,S△ACD=AC●DF/2且DE=DF ∴S△ABD:S△ACD=AB:AC

∵S△ABD=BD●AG/2且S△ACD=DC●AG/2 ∴S△ABD:S△ACD=BD:DC

∵S△ABD:S△ACD=AB:AC且S△ABD:S△ACD=BD:DC ∴AB:AC=BD:DC

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