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试判断x为何正整数时,x4+x2+1是质数?

作者:深圳奥数家教试题解答中心 | 字体大小】【】【】 | 浏览次数:2234

试题说明:本文《试判断x为何正整数时,x4+x2+1是质数?》是由四川省初二学生程晓明同学提交,由深圳奥数家教试题解答中心提供详细解答。

试题内容:试判断x为何正整数时,x4+x2+1是质数?

试题分析:这是一个奥数试题,要使“x4+x2+1“是质数,必须要结合质数的概念进行分析,什么叫质数?约数只有1和它本身的正整数就叫质数,现在,多项式“x4+x2+1”不是“积”的形式,所以必须要将它先进行因式分解,写成积的形式;如何将多项式“x4+x2+1”进行因式分解呢?这是一个难点,用书本上的现有的几种方法(提公因式法,公式法,十字相乘法和分组分解法)是不行的,必须要创造性地用“拆项法”进行……

解答所用到的数学知识点:①质数的定义 ②用拆项法进行因式分解 ③一元二次方程的解法

深圳奥数家教试题解答中心解答:

第一步:将多项式x4+x2+1进行因式分解:x4+x2+1=x4+x2+x2+1-x2

=(x4+ 2x2+1)-x2=(x2+1)2-x2

=[(x2+1)+x][ (x2+1)-x]

=(x2+x+1)(x2-x+1)

第二步:结合质数的定义进行讨论:∵x4+x2+1是质数 ∴(x2+x+1)(x2-x+1)必须是质数

∵(x2+x+1)(x2-x+1)是质数 ∴在因式“x2+x+1”和“x2-x+1”中必须一个等于1一个大于1

∵x是正整数 ∴x2+x+1>1恒成立

∵x2+x+1>1 ∴x2-x+1=1

解这个方程得:x=1 或 x=0(舍去)

答:当x=1时,x4+x2+1是质数。

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